小学小学数学之工程问题

2007-12-04 18:34:06 　来源：家教班

在日常生活中，做某一件事，制造某种产品，完成某项任务，完成某项工程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，它们之间的基本数量关系是

　　工作量=工作效率×时间.

　　在小学数学中，探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”.

　　举一个简单例子.

　　一件工作，甲做10天可完成，乙做15天可完成.问两人合作几天可以完成？

　　一件工作看成1个整体，因此可以把工作量算作1.所谓工作效率，就是单位时间内完成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1天就是一个单位，

　　再根据基本数量关系式，得到

　　所需时间=工作量÷工作效率

　　=6（天）·

　　两人合作需要6天.

　　这是工程问题中较基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的.

　　为了整数化（尽可能用整数进行），如第三讲例3和例8所用方法，把工作量多设份额.还是上题，10与15的较小公倍数是30.设全部工作量为30份.那么甲每天完成3份，乙每天完成2份.两人合作所需天数是

　　30÷（3+ 2）= 6（天）

　　数，就方便些.

　　∶2.或者说“工作量固定，工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也

　　需时间是

　　因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.

一、两个人的问题

　　标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.

　　例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作？

　　答：乙需要做4天可完成全部工作.

　　解二：9与6的较小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是

　　（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.

　　解三：甲与乙的工作效率之比是

　　6∶ 9= 2∶ 3.

　　甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.

　　例2 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？

　　解：共做了6天后，

　　原来，甲做 24天，乙做 24天，

　　现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.

　　这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率

　　如果乙独做，所需时间是

　　如果甲独做，所需时间是

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　　答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.

　　例3 某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？

　　解：先对比如下：

　　甲做63天，乙做28天；

　　甲做48天，乙做48天.

　　就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的

　　甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做

　　因此，乙还要做

　　28+28= 56 （天）.

　　答：乙还需要做 56天.

　　例4 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？

　　解一：甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量

　　余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是

　　2+8+ 1= 11（天）.

　　答：从开始到完工共用了11天.

　　解二：设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作

　　（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.

　　解三：甲队做1天相当于乙队做3天.

　　在甲队单独做 8天后，还余下（甲队） 10-8= 2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.

　　4=3+1，

　　其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.

　　例5 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？

解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是

　　由于两队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息期间未做的工作量是

　　乙队休息的天数是

　　答：乙队休息了5天半.

　　解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两队休息期间未做的工作量是

　　（3+2）×16- 60= 20（份）.

　　因此乙休息天数是

　　（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.

　　解三：甲队做2天，相当于乙队做3天.

　　甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.

　　如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是

　　16-6-4.5=5.5（天）.

　　例6 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成较少需要多少天？[!--empirenews.page--]

　　解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.

　　设乙的工作量为60份（15与20的较小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.

　　8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要

　　（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.

　　8+4=12（天）.

　　答：这两项工作都完成较少需要12天.

　　例7 一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他

　　要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？

　　解：设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.

　　两人合作，共完成

　　3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.

　　因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是

　　（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.

　　很明显，较后转化成“鸡兔同笼”型问题.

　　例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时

　　如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

　　解：乙6小时单独工作完成的工作量是

　　乙每小时完成的工作量是

　　两人合作6小时，甲完成的工作量是

　　甲单独做时每小时完成的工作量

　　甲单独做这件工作需要的时间是

　　答：甲单独完成这件工作需要33小时.

　　这一节的多数例题都进行了“整数化”的处理.但是，“整数化”并不能使所有工程问题的简便.例8就是如此.例8也可以整数化，当求出乙每

　　有一点方便，但好处不大.不必多此一举.

二、多人的工程问题

　　我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.

　　　例9 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？

　　解：设这件工作的工作量是1.

　　甲、乙、丙三人合作每天完成

　　减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成

　　答：甲一人独做需要90天完成.

　　例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，是否会方便些？

　　例10 一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？[!--empirenews.page--]

　　解：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.

　　说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了

　　2+6+12=20（天）.

　　答：完成这项工作用了20天.

　　本题整数化会带来上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的较小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了

　　例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

　　解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.

　　他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要

　　答：甲独做需要26天.

　　事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.

　　例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？

　　解一：设这项工作的工作量是1.

　　甲组每人每天能完成

　　乙组每人每天能完成

　　甲组2人和乙组7人每天能完成

　　答：合作3天能完成这项工作.

　　解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.

　　现在已不需顾及人数，问题转化为：

　　甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？

　　小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.

　　例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？

　　解一：仍设总工作量为1.

　　甲每天比乙多完成

　　因此这批零件的总数是

　　丙车间制作的零件数目是

　　答：丙车间制作了4200个零件.

　　解二：10与6较小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.[!--empirenews.page--]

　　乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知

　　乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.

　　已知

　　甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.

　　综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是

　　12∶8∶7.

　　当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是

　　2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.

　　例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.较后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是

　　答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

　　解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.

　　三人共同搬完，需要

　　60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.

　　甲需丙帮助搬运

　　（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.

　　乙需丙帮助搬运

　　（60- 5× 8）÷4= 5（小时）.

三、水管问题

　　从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.

　　例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？

　　甲每分钟注入水量是

　　乙每分钟注入水量是

　　因此水池容积是

　　答：水池容积是27立方米.

　　例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在

　　按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？

　　答：开始时打开6根水管.

　　例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要

　　、乙、……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

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　　，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.

　　以后（20小时），池中的水已有

　　此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？

　　看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.

　　因此，答案是28小时，而不是30小时.

　　例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

　　解：先1个水龙头每分钟放出水量.

　　2小时半比1小时半多60分钟，多流入水

　　4 × 60= 240（立方米）.

　　时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是

　　240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），

　　8个水龙头1个半小时放出的水量是

　　8 × 8 × 90，

　　其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.

　　打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要

　　5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.

　　答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.

　　水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.

　　例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？

　　解：设满水池的水量为1.

　　A管每小时排出

　　A管4小时排出

　　因此，B，C两管齐开，每小时排水量是

　　B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是

　　答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.

　　本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的较小公倍数 24.

　　17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.[!--empirenews.page--]

　　例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一

　　草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？

　　解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.

　　原有草+4星期新长的草=12×4.

　　原有草+9星期新长的草=7×9.

　　由此可得出，每星期新长的草是

　　（7×9-12×4）÷（9-4）=3.

　　那么原有草是

　　7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.

　　对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是

　　这些草能让

　　90×7.2÷18=36（头）

　　牛吃18个星期.

　　答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.

　　例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？

　　“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子.

　　例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从先进个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问先进个观众到达时间是8点几分？

　　解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个单位.

　　从9点至9点9分进入观众是3×9，

　　从9点至9点5分进入观众是5×5.

　　因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是

　　（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.

　　9点前来的观众是

　　5×5-0.5×5=22.5.

　　这些观众来到需要

　　22.5÷0.5=45（分钟）.

　　答：先进个观众到达时间是8点15分.