初二数学：一元二次方程实数根错例剖析

【典型例题】               

        例1   下列方程中两实数根之和为2的方程是（）

        (A)   x2+2x+3＝0     (B) x2-2x+3＝0    (c)  x2-2x-3＝0      (D)  x2+2x+3＝0

        错答： B

        正解： C

        错因剖析：由根与系数的关系得x1+x2＝2，极易误选B，又考虑到方程有实数根，故由△可知，方程B无实数根，方程C合适。

        例2   若关于x的方程x2+2(k+2)x+k2＝0  两个实数根之和大于-4，则k的取值范围是（     ）

        (A)   k＞-1     (B)  k＜0    (c) -1＜ k＜0    (D) -1≤k＜0

        错解 ：B

        正解：D

        错因剖析：漏掉了方程有实数根的前提是△≥0

        例3（2000广西中功课） 已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2x-1＝0有两个不相等的实根，求k的取值范围。

        错解: 由△＝(-2 )2-4(1-2k)(-1) ＝-4k+8＞0得  k＜2又∵k+1≥0∴k≥ -1。即 k的取值范围是 -1≤k＜2

        错因剖析：漏掉了二次项系数1-2k≠0这个前提。事实上，当1-2k＝0即k＝ 时，原方程变为一次方程，不可能有两个实根。

        正解： -1≤k＜2且k≠

        例4 （2002山东太原中功课） 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，当x12+x22=15时，求m的值。

        错解：由根与系数的关系得

        x1+x2＝ -（2m+1）,    x1x2＝m2+1,

        ∵x12+x22＝(x1+x2)2-2 x1x2

                 ＝[-（2m+1）]2-2（m2+1）

                 ＝2 m2+4 m-1

        又∵ x12+x22=15

          ∴ 2 m2+4 m-1=15

          ∴ m1 ＝ -4   m2 ＝ 2

        错因剖析：漏掉了一元二次方程有两个实根的前提条件是判别式△≥0。因为当m ＝ -4时，方程为x2-7x+17＝0，此时△＝（-7）2-4×17×1＝  -19＜0，方程无实数根，不符合题意。

        正解：m ＝ 2

        例5  已知二次方程x2+3 x+a＝0有整数根，a是非负数，求方程的整数根。

        错解：∵方程有整数根，

              ∴△＝9-4a＞0，则a＜2.25

            又∵a是非负数，∴a＝1或a＝2

               令a＝1，则x＝ -3± ，舍去；令a＝2，则x1＝ -1、 x2＝ -2

              ∴方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2

        错因剖析：概念模糊。非负整数应包括零和正整数。上面答案仅是一部分，当a＝0时，还可以求出方程的另两个整数根，x3＝0， x4＝ -3

        正解：方程的整数根是x1＝ -1， x2＝ -2 ，  x3＝0， x4＝ -3

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