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08年高考数学备考:三角函数专题热点复习指导

2008-01-28 09:25:33  来源:网络 文章作者:张鼎言

  8. 若0

  A. sinx<-x

  B. sinx>-x

  C. sinx<-x2

  D. sinx>-x2

  解:用特殊值法,令x=-,sin-=-,-g-=-,-g-=-

  排除A、B、C,选D。

  本题也可用g(x)=sinx--x,H(x)=sinx--x2

  用求导的方法对g(x)、H(x)进行分析。

  注:本题不等式左边是三角函数(属超越函数),右边是代数函数,用初等方法无法解决。

  9. 已知函数y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-,x∈R(其中ω>0)。

  (1)求函数f(x)的值域;

  (2)若对任意的a∈R,函数y=f(x),x∈(a,a+π]的图像与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定ω的值(不必证明),并求函数y=f(x),x∈R的单调区间。

  解:(1)y=sinx(ωx+-)+sin(ωx--)-2cos2-

  =-sinωx-cosωx-1

  =2sin(ωx--)-1

  ∴-3f(x)1

  分析:(2)把f(x)的图像作一个简单的类比,相当于y=sinx在(0,2π]内在直线y=0交点的个数是两个,且仅是两个。

  而(α,α+π]是长度为π的左开右闭区间,

  ∴f(x)的周期为π

  ∴-=π→ω=2

  ∴f(x)=2sin(2x--)-1

  其单调增区间为2kπ--2x--2kπ+-

  kπ--xkπ+-

  注:本题(2)是由图像的特征确定周期,类比可使问题简化。

  10. 将函数y=sinωx(ω>0)的图像按向量α=(--,0)平移,平移后的图像如图所示,则平移后的图像所对应函数的解析式是( )

  A. y=sin(x+-)

  B. y=sin(x--)

  C. y=sin(2x+-)

  D. y=sin(2x--)

  解:y=sinωx按-=(--,0)平移后,得y=sinω(x+-)

  sinω(-+-)=-1

  由图像ω(-+-)=-,ω=2

  ∴y=sin(2x+-),选C

  11. 设函数f(x)=-·(-+-),其中向量-=(sinx,-cosx),-=(sinx,-3cosx),-=(-cosx,sinx),x∈R

  (Ⅰ)求函数f(x)的较大值和较小值的正周期;

  (Ⅱ)将函数f(x)的图像按向量-平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度较小的-。

  解:(Ⅰ)由已知f(x)=(sinx,-cosx)·(sinx-cosx,-3cosx+sinx)

  =cos2x-sin2x+2=-cos(2x+-)+2

  fmax(x)=-+2,T=π

  (Ⅱ)∵平移后图像关于坐标原点成中心对称,图象先向下平移2个单位

  φ(x)=cos[2(x+φ)+-],φ(0)=0

  ∴cos(2φ+-)=0,2φ+-=kπ+-

  φ=-+-,当k=0,|φ|较小

  ∴φ=-

  -=(--,-2)

  (三)解三角形

  复习导引:正、余弘定理的重要作用是“边”与“内角的函数”的转化,如第4、5、6题。第2、3题提供了两条重要的思考方法。在三角形面积问题中较常用的公式是SVABC=-bcsinA,如第7、8题。在解三角形时,随时注意内角的变化范围,在第2、6题中都有体现。

  1. 2002年在北京召开的数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的。弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形。如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于______________。

  分析:考查图形,由四个直角三角形全等,在同一个直角三角形内,两条直角边的差是1,又斜边是5,由此勾3,股4,弦5。

  ∴sinθ=-,cosθ=-,∴cos2θ=-

  2. 如果VA1B1C1的三个内角的余弦值分别等于VA2B2C2的三个内角的正弦值,则( )

  A. VA1B1C1和VA2B2C2都是锐角三角形

  B. VA1B1C1和VA2B2C2都是钝角三角形

  C. VA1B1C1是钝角三角形,VA2B2C2是锐角三角形

  D. VA1B1C1是锐角三角形,VA2B2C2是钝角三角形

  解:VA1B1C1三个内角的余弦值均大于0,VA1B1C1为锐角三角形,假定VA2B2C2也为锐角三角形,

  sinA2=cosA1=sin(--A1)→A2=--A1,

  同理B2=--B1,C2=--C1

  A2+B2+C2=--(A1+B1+C1)=-(矛盾)

  ∴VA2B2C2为钝角三角形,选D

  3. 设P是VABC所在平面上一点,SVABC表示VABC的面积,λ1=-,λ2=-,λ3=- ,定义p(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是VABC的重点,f(Q)=(-,-,-),则( )

  A. 点Q在VGAB内

  B. 点Q在VGBC内

  C. 点Q在VGCA内

  D. 点Q与点G重合

  解:假定VABC为正三角形,则f(G)=(-,-,-)

  -=-,点Q在过G点平行于边AC的直线lAC上,-=->-,点Q又在平行于边BC的直线lBC上。lAC与lBC交于点Q,Q在VGAB内,选A

  注:用“特殊三角形”,令VABC是正三角形,简化思考。

  4.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆-+-=1上,则-=_____________

  解:由椭圆方程 a'=5,b'=3,c'=4

  ∴A、C为椭圆焦点,B在椭圆上:

  由正弦定理-=-=-=-,(a、b、c为△ABC三条边)

  5 设a、b、c分别为VABC的三内角A、B、C所对的边,则a2=b(b+c)是A=2B的( )

  (A)充要条件

  (B)充分而不必要条件

  (C)必要而不充分条件

  (D)既不充分也不必要条件

  答案:A

  6.设锐角三角形ABC的内角,A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA

  (1)求B的大小;

  (2)求cosA+sinC的取值范围。

  解:(1)a=2bsinA,sinA=2sinBgsinA

  ∴sinB=-,0°

  (2)cosA+sinC=cosA+sin[180°-(A+30°)]

  =cosA+sin(A+30°)

  =-sinA+-cosA

  =-(sinA+-cosA)

  =-sin(A+60°)

  ∵A+B>90°

  ∴A>60°,∴120°

  ∴-<-sin(A+60°)<-

  注:解三角形,A,B,C是三角内角,充分注意角的变化范围。

  7.如图,已知VABC边长为l的正三角形,M、N分别是边AB、AC上的点,线段MN经过VABC的中心G,设∠MGC=α(-α-)

  (1)试将VAGM、VAGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数

  (2)求y=-+-的较大值与较小值

  解:(Ⅰ)在VAGM中,由正弦定理:[!--empirenews.page--]

  -=-

  其中∠MAG=30°,

  ∠AMG=180°-(30°+α),

  AG=-·■=-,GM=-

  同理,在VAGN中,GM=-

  S1=-AG·GMsinα=-

  S2=-AG·GNsin(180°-α)=-

  (Ⅱ)y=-+-=-

  =72(3+cot2α)

  ∵-α-

  ∴--cotα-,0cot2α-

  ∴ymin=216,ymax=240

  8. 已知VABC的面积为3,且满足0-g-6。设-和-的夹角为θ

  (1)求θ的取值范围;

  (2)求函数f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ的较大值与较小值。

  解:(1)SVABC=-bcsinθ=3,bc=-

  由已知0-g-6,0cotθ1

  ∴-θ-

  (2)f(θ)=2sin2(-+θ)--cos2θ

  =1-cos(-+2θ)--cos2θ

  =sin2θ--cos2θ+1

  =2sin(2θ--)+1

  由(1)-2θ---

  -sin(2θ--)1

  ∴fmax(θ)=3,fmin(θ)=2,

  此时分别为θ=-,θ=-

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