六年级小学数学：整除的性质和应用

2009-07-10 09:53:40 　来源：本站原创文章作者：匿名

　　整除有几个性质。其中一个性质是：“如果数b能整除数a，数c能整除数a，且b和c互质，那么b和c的积也能整除a.”如，2能整除12，3能整除12，且2和3互质，则2×3=6也能整除12。整除的这一性质，应用较为广泛。请看：

　　例1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能被225整除，修改后的六位数是_____.(安徽省1997年小学数学诊断题)

　　解：逆向思考：因为225=25×9，且25和9互质，所以，只要修改后的数能分别被25和9整除，这个数就能被225整除。我们来分别考察能被25和9整除的情形。

　　由能被25整除的数的特征(末两位数能被25整除)知，修改后的六位数的末两位数可能是25，或75.

　　再据能被9整除的数的特征(各位上的数字之和能被9整除)检验，得9+7+0+4+5=25，25+2=27，25+7=32.

　　故知，修改后的六位数是970425.

　　例2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能被15整除的数中较大的一个，这个数是多少?(山东省1997年小孩子数学诊断初赛试题)

　　解：因为15=3×5，且3和5互质。所以，只需分别考察能被3和5整除的情形。

　　由能被5整除的数的特征知，组成的四位数的个位上是5或0.

　　再据能被3整除的数的特征试算，若个位上是5，则有3+2+5=10.可推知，百位上较大可填入8.即组成的四位数是3825;若个位上是0，则有3+2+0=5.可推知，百位上较大可填入7.即组成的四位数是3720.

　　故知，这个数是3825.

　　例3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元(□为被烧掉的数字)，请你帮忙把这笔账补上。应是____元。(德阳市第十届小孩子数学邀请赛试题)。

　　解：72只桶共用去a67.9b元，把它改写成a679b分后，应能被72整除。72=8×9，8和9互质，若8能整除它，9能整除它，72就一定能整除它。

　　由能被8整除的数的特征(末三位数能被8整除)知，79b能被8整除，则b=2;由能被9整除的数的特征知，a+6+7+9+2=a+24能被9整除，则a=3。

　　故这笔账应是367.92元。

　　例4.将1至9九个数字写在一条纸带上，如下图：

　　将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数，把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____.(1998年全国小学数学奥林匹克决赛试题)

　　解：因为77=11×7，且11和7互质，所以，只需分别考察能被11、7整除的情形。

　　由能被11整除的数的特征知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差能被11整除。

　　由数字1～9的和是45，可推知，和的奇位数上数字之和与偶位数上数字之和的差不可能是0.我们不妨设差为11，则有(45+11)÷2=28，(45-11)÷2=17.据此列举、试算，得

　　再据能被7整除的数的特征(末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差能被7整除)检验2079是否能被7整除：79-2=77，77能被7整除。

　　故知，中间一段的数是56.

　　例5.有三个连续的自然数，它们的平均数能分别被三个不同的质数整除。要使它们的和较小，这三个自然数分别是多少?(山东省1997年小孩子数学诊断决赛试题)

　　解：三个连续自然数的平均数等于这三个自然数中间的一个数。

　　要使这三个自然数的和较小，它们的平均数应较小。要使它们的平均数较小，能分别整除它们平均数的三个不同的质数应尽可能的小。我们不妨设这三个不同的质数是2、3、5.能分别被2、3、5整除的较小数是2×3×5=30.即所求的这三个自然数的平均数是30，也就是这三个自然数中间的一个数是30.

　　故知，这三个自然数分别是29、30、31.

　　练一练：

　　1.如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么这个整数中1的个数至少有_____个。(答：15个)

　　2.要使四位数□7□2能被24整除，且较小，方框中各应填上什么数字?(答：1、5)

　　3.修改693205中的一个数字，使修改后的数能被275整除。修改后的数是_____.(答：693275)

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