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1.双曲线的方程为=1(a>0,b>0),焦距为4,一个顶点是抛物线y2=4x的焦点,则双曲线的离心率e=( )
A.2 B. C. D.
2.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( )
A. (0,1) B. C. D.
3.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若=0,则||+||+||=( )
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1 B.x=-1 C.x=2 D.x=-2
5.已知A,B,P是双曲线=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为( )
A.1 B.2 C. -1 D.-2
6.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AKl,垂足为K,则AKF的面积是( )
A.4 B.3 C.4 D.8
7.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p= .
8.(2014湖南,文14)平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 .
9.已知双曲线的中心在原点,且一个焦点为F(,0),直线y=x-1与其相交于M, N两点,线段MN中点的横坐标为-,求此双曲线的方程.
10.(2014安徽,文21)设F1,F2分别是椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|.
(1)若|AB|=4,ABF2的周长为16,求|AF2|;
(2)若cosAF2B=,求椭圆E的离心率.
11.已知点F是双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABE是直角三角形,则该双曲线的离心率是( )
A. B.2 C.1+ D.2+
12.(2014湖北,文8)设a,b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
13.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为( )
A.=3 B.=1C.=-1D=-2
C.=1 D.=1
14.(2014江西,文20)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
(1)证明:动点D在定直线上;
(2)作C的任意一条切线l(不含x轴),与直线y=2相交于点N1,与(1)中的定直线相交于点N2,证明:|MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值.
15.已知点A(0,-2),椭圆E:=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积较大时,求l的方程.
参考答案
1.A 解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),则在双曲线中a=1.又2c=4,c=2,e==2.
2.C 解析:设F1,F2为焦点,由题意知,点M的轨迹是以F1F2为直径的圆,
则c1或k<-1.
9.解:设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),
则a2+b2=()2=7.
由
消去y,得=1.
整理,得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.(*)
由直线y=x-1与双曲线有两个交点知a≠b,
设M(x1,y1),N(x2,y
2),
则x1和x2为方程(*)的根,
于是x1+x2=.
由已知得=-,
则=-,即5a2=2b2.
由得
故所求双曲线方程为=1.
10.解:(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,
得|AF1|=3,|F1B|=1.
因为ABF2的周长为16,
所以由椭圆定义可得4a=16,
|AF1|+|AF2|=2a=8.
故|AF2|=2a-|AF1|=8-3=5.
(2)设|F1B|=k,则k>0,
且|AF1|=3k,|AB|=4k.
由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k.
在ABF2中,由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|·|BF2|cosAF2B,
即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k),
化简可得(a+k)(a-3k)=0,
而a+k>0,故a=3k.
于是有|AF2|=3k=|AF1|,|BF2|=5k.
因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2,可得F1AF2A,
故AF1F2为等腰直角三角形.
从而c=a,所以椭圆E的离心率e=.
11.B 解析:将x=-c代入双曲线方程得A.
由ABE是直角三角形,得=a+c,
即a2+ac=b2=c2-a2,
整理得c2-ac-2a2=0.
∴e2-e-2=0,
解得e=2(e=-1舍去).
12.A 解析:可解方程t2cosθ+tsinθ=0,
得两根0,-.
不妨设a=0,b=-,
则A(0,0),B,
可求得直线方程y=-x,
因为双曲线渐近线方程为y=±x,
故过A,B的直线即为双曲线的一条渐近线,直线与双曲线无交点,故选A.
13.D 解析:因为椭圆的离心率为,
所以e=,c2=a2,a2=a2-b2.
所以b2=a2,即a2=4b2.
因为双曲线的渐近线为y=±x,代入椭圆得=1
即=1,
所以x2=b2,x=±b,y2=b2,y=±b.
则在先进象限的交点坐标为.
所以四边形的面积为4×b×b=b2=16.解得b2=5,
故椭圆方程为=1.
14.(1)证明:依题意可设AB方程为y=kx+2,代入x2=4y,得x2=4(kx+2),即x2-4kx-8=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则有x1x2=-8,
直线AO的方程为y=x;BD的方程为x=x2.
解得交点D的坐标为
注意到x1x2=-8及=4y1,
则有y==-2.
因此D点在定直线y=-2上(x≠0).
(2)解:依题设,切线l的斜率存在且不等于0,设切线l的方程为y=ax+b(a≠0),
代入x2=4y得x2=4(ax+b),
即x2-4ax-4b=0,
由Δ=0得(4a)2+16b=0,化简整理得b=-a2.
故切线l的方程可写为y=ax-a2.
分别令y=2,y=-2得N1,N2的坐标为N1,N2.
则|MN2|2-|MN1|2=+42-=8,
即|MN2|2-|MN1|2为定值8.
15.解:(1)设F(c,0),由条件知,,得c=.
又,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1
(2)当lx轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1,
得(1+4k2)x2-16kx+12=0.
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.
从而|PQ|=|x1-x2|
=.
又点O到直线PQ的距离d=
所以OPQ的面积SOPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,
SOPQ=.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0.
所以,当OPQ的面积较大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
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