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中考十道题

北京中考题二次方程

2020-05-04 11:37:38  来源:百度文库

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北京中考题二次方程!同学们想要学好初中数学,概念和公式必须牢牢掌握。什么是一元二次方程呢?只含有一个未知数(一元),并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax²+bx+c=0(a≠0)。下面,小编为大家带来北京中考题二次方程,希望可以给大家带来帮助哟~

北京中考题二次方程

  考点一:一元二次方程的有关概念(意义、一般形式、根的概念等)

  例1 (2012•兰州)下列方程中是关于x的一元二次方程的是(  )

  A.x2+=0 B.ax2+bx+c=0

  C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0

  思路分析:一元二次方程必须满足四个条件:

  (1)未知数的最高次数是2;

  (2)二次项系数不为0;

  (3)是整式方程;

  (4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.

  解:A、原方程为分式方程;故本选项错误;

  B、当a=0时,即ax2+bx+c=0的二次项系数是0时,该方程就不是一元二次方程;故本选项错误;

  C、由原方程,得x2+x-3=0,符合一元二次方程的要求;故本选项正确;

  D、方程3x2-2xy-5y2=0中含有两个未知数;故本选项错误.

  故选C.

  点评:本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.

  对应训练

  1.(2012•惠山区)一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,则a= .

  1.1

  解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,

  ∴a+1≠0且a2-1=0,

  ∴a=1.

  故答案为1.

  点评:本题考查了一元二次方程的定义:含一个未知数,并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程,其一般式为ax2+bx+c=0(a≠0).也考查了一元二次方程的解的定义.

  考点二:一元二次方程的解法

  例2 (2012•安徽)解方程:x2-2x=2x+1.

  思路分析:先移项,把2x移到等号的左边,再合并同类项,最后配方,方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方,左边就是完全平方式,右边就是常数,然后利用平方根的定义即可求解.

  解:∵x2-2x=2x+1,

  ∴x2-4x=1,

  ∴x2-4x+4=1+4,

  (x-2)2=5,

  ∴x-2=±,

  ∴x1=2+,x2=2-.

  点评:此题考查了配方法解一元二次方程,配方法的一般步骤:

  (1)把常数项移到等号的右边;

  (2)把二次项的系数化为1;

  (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方;

  (4)选择用配方法解一元二次方程时,最好使方程的二次项的系数为1,一次项的系数是2的倍数.

  例3 (2012•黔西南州)三角形的两边长分别为2和6,第三边是方程x2-10x+21=0的解,则第三边的长为(  )

  A.7 B.3 C.7或3 D.无法确定

  思路分析:将已知的方程x2-10x+21=0左边分解因式,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程,求出一次方程的解得到原方程的解为3或7,利用三角形的两边之和大于第三边进行判断,得到满足题意的第三边的长.

  解:x2-10x+21=0,

  因式分解得:(x-3)(x-7)=0,

  解得:x1=3,x2=7,

  ∵三角形的第三边是x2-10x+21=0的解,

  ∴三角形的第三边为3或7,

  当三角形第三边为3时,2+3<6,不能构成三角形,舍去;

  当三角形第三边为7时,三角形三边分别为2,6,7,能构成三角形,

  则第三边的长为7.

  故选A

  点评:此题考查了利用因式分解法求一元二次方程的解,以及三角形的边角关系,利用因式分解法解方程时,首先将方程右边化为0,左边分解因式,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化两个一次方程来求解.

  对应训练

  2.(2012•台湾)若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,则2a-b之值为何?(  )

  A.-57 B.63 C.179 D.181

  2.D

  2.解:x2-2x-3599=0,

  移项得:x2-2x=3599,

  x2-2x+1=3599+1,

  即(x-1)2=3600,

  x-1=60,x-1=-60,

  解得:x=61,x=-59,

  ∵一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b,且a>b,

  ∴a=61,b=-59,

  ∴2a-b=2×61-(-59)=181,

  故选D.

  3.(2012•南充)方程x(x-2)+x-2=0的解是(  )

  A.2 B.-2,1 C.-1 D.2,-1

  3.D

  考点三:根的判别式的运用

  例3 (2012•襄阳)如果关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是(  )

  A.k< B.k<且k≠0 C.-≤k< D.-≤k<且k≠0

  思路分析:根据方程有两个不相等的实数根,则△>0,由此建立关于k的不等式,然后就可以求出k的取值范围.

  解:由题意知:2k+1≥0,k≠0,△=2k+1-4k>0,

  ∴-≤k<且k≠0.

  故选D.

  点评:此题考查了一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的判别式△=b2-4ac.一元二次方程根的情况与判别式△的关系为:

  (1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根;

  (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根;

  (3)△<0⇔方程没有实数根.

  例4 (2012•绵阳)已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.

  (1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;

  (2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.

  思路分析:(1)根据关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0的根的判别式的符号来证明结论;

  (2)根据一元二次方程的解的定义求得m值,然后由根与系数的关系求得方程的另一根.分类讨论:①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为;再根据三角形的周长公式进行计算.

  解:(1)证明:∵△=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,

  ∴在实数范围内,m无论取何值,(m-2)2+4≥4,即△≥4,

  ∴关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0恒有两个不相等的实数根;

  (2)根据题意,得

  12-1×(m+2)+(2m-1)=0,

  解得,m=2,

  则方程的另一根为:3;

  ①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:;

  该直角三角形的周长为1+3+=4+;

  ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2;则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2.

  点评:本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义.解答(2)时,采用了“分类讨论”的数学思想.

  对应训练

  3.(2012•桂林)关于x的方程x2-2x+k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(  )

  A.k<1 B.k>1 C.k<-1 D.k>-1

  3.A.

  4.(2012•珠海)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.

  (1)当m=3时,判断方程的根的情况;

  (2)当m=-3时,求方程的根.

  4.解:(1)∵当m=3时,

  △=b2-4ac=22-4×3=-8<0,

  ∴原方程无实数根;

  (2)当m=-3时,

  原方程变为x2+2x-3=0,

  ∵(x-1)(x+3)=0,

  ∴x-1=0,x+3=0,

  ∴x1=1,x2=-3.

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  考点四:一元二次方程的应用

  例5 (2012•南京)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车,在一定范围内,每部汽车的进价与销售量有如下关系:若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司,销售量在10部以内(含10部),每部返利0.5万元;销售量在10部以上,每部返利1万元.

  (1)若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为 万元;

  (2)如果汽车的售价为28万元/部,该公司计划当月返利12万元,那么需要售出多少部汽车?(盈利=销售利润+返利)

  思路分析:(1)根据若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,得出该公司当月售出3部汽车时,则每部汽车的进价为:27-0.1×2,即可得出答案;

  (2)利用设需要售出x部汽车,由题意可知,每部汽车的销售利润,根据当0≤x≤10,以及当x>10时,分别讨论得出即可.

  解:(1)∵若当月仅售出1部汽车,则该部汽车的进价为27万元,每多售出1部,所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部,

  ∴若该公司当月售出3部汽车,则每部汽车的进价为:27-0.1×2=26.8,

  故答案为:26.8;

  (2)设需要售出x部汽车,

  由题意可知,每部汽车的销售利润为:

  28-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(万元),

  当0≤x≤10,

  根据题意,得x•(0.1x+0.9)+0.5x=12,

  整理,得x2+14x-120=0,

  解这个方程,得x1=-20(不合题意,舍去),x2=6,

  当x>10时,

  根据题意,得x•(0.1x+0.9)+x=12,

  整理,得x2+19x-120=0,

  解这个方程,得x1=-24(不合题意,舍去),x2=5,

  因为5<10,所以x2=5舍去,

  答:需要售出6部汽车.

  点评:本题考查了一元二次方程的应用.解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系并进行分段讨论是解题关键.

  对应训练

  5.(2012•乐山)菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销.李伟为了加快销售,减少损失,对价格经过两次下调后,以每千克3.2元的单价对外批发销售.

  (1)求平均每次下调的百分率;

  (2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择:

  方案一:打九折销售;

  方案二:不打折,每吨优惠现金200元.

  试问小华选择哪种方案更优惠,请说明理由.

  5.解 (1)设平均每次下调的百分率为x.

  由题意,得5(1-x)2=3.2.

  解这个方程,得x1=0.2,x2=1.8.

  因为降价的百分率不可能大于1,所以x2=1.8不符合题意,

  符合题目要求的是x1=0.2=20%.

  答:平均每次下调的百分率是20%.

  (2)小华选择方案一购买更优惠.

  理由:方案一所需费用为:3.2×0.9×5000=14400(元),

  方案二所需费用为:3.2×5000-200×5=15000(元).

  ∵14400<15000,

  ∴小华选择方案一购买更优惠.

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