2020北京中考第二轮复习圆

“圆”这部分知识主要包括与圆有关的概念及性质（含与圆有关的角）、与圆有关的位置关系、正多边形与圆、扇形的弧长与面积、圆锥的侧面积等知识以及运用这些知识解决实际问题.这部分知识多为考查相关概念及性质、定理及应用，既可以单独成题，也可以相互结合，也可以设计成开放性、探索性的创新试题，还可以与其他知识（如三角形、四边形、函数等）相结合形成综合题，同时而且这部分知识蕴含着较多重要的数学思想方法，如转化思想、方程思想、分类思想、整体思想等，因此也常常被作为中考的“中难题”，是中考中较精彩内容和热点之一.

“圆”这部分内容在中诊断卷中遍布各种题型，既涉及、论证、综合运用，又涉及探索以及操作题等，考查的知识点侧重于与圆有关的角、与圆有关的、与其他知识（包括函数）相结合等等.主要题型和特点有两大类：一是基本题型，这类题型主要以选择题、填空题为主，主要考查圆的基本概念与基本性质；当然也包括部分解答题，主要考查这些知识的基本运用，如垂径定理、圆周角定理及相关结论、切线的判定与性质等的运用一般仍以或证明的形式考查；二是综合题型，这类题型主要与全等、相似、三角函数以及方程、函数等知识结合在一起，探究两直线的平行、线段相等、角相等、构造特殊的三角形或四边形等等，着重考查同学们的分析问题和解决问题的能力，同时特别要注意与圆有关的动态问题、圆与函数的综合等，常常作为中考的压轴题，另外与圆有关的实际应用题、阅读理解题和探索存在性问题仍是热门功课.

这部分知识在复习时，务必要做到：

（1）牢固掌握基本知识和基本技能：准确理解相关概念与性质、与圆相关的位置关系，并能利用相关知识解答基本题型，如：切线的证明，会从点与圆，直线与圆的关系中探索相应半径与距离的数量关系；会用垂径定理、切线长定理来证明一类与圆有关的的几何题；会利用圆内接四边形的性质、弧长与扇形面积公式，解决与圆柱、圆锥展开图有关的题并会借助分割和转化思想求阴影面积等等.

（2）注重观察、分析和总结，掌握方法：从典型问题的特殊方法着手训练，在解决问题的过程中不仅要善于掌握解题方法，而且要从中及时总结规律，尤其是常用辅助线的添加，如：遇弦常作弦心距、遇切线常作过切点和圆心的线段、遇直径常构造直径所对的圆周角，反之，则遇圆周角是直角常构造出直径、两圆相交常作公共弦或连结两个圆心，等等.

（3）关注相关重点知识的应用：会利用圆的有关知识解决一些有关圆的实际应用题、动态题、探索题及阅读理解题等.

（4）注重数学思想方法的应用：圆是数学中思想方法集中的知识点，如转化思想、方程思想、分类思想、整体思想等，在求解与圆有关的问题时除了要能灵活运用所学知识外，还应注意思想方法的运用，注重通性通法.

2020北京中考第二轮复习圆

【试题】如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，BE=1，求cosA的值.

【图文解析】

（1）证切线常见题型有两种，一是直线经过圆上的已知点（即点明确），方法是：连接过这个已知的点的半径，证“垂直”；二是直线与圆的公共点未知（即点不明确），则过圆心作直线（所证的切线）的垂线段，证“半径”，不论是哪种，均要满足“距离＝半径”.本题显然点D已经在⊙O上（即点明确），要证DE是⊙O的切线，只需连接OD，证OD⊥EF即可.如下图示：

结合已知条件不难知，当OD∥AB时，即可得到证明，同时OA＝OC（“天然条件”），因此只需证CD＝BD，就可以利用三角形的中位线定理，得到证明.因AC是⊙O的直径，自然联想到连接AD（圆中较常用的辅助线，切不可忘了），可得到∠ADC＝900，即AD⊥BC，结合AB＝AC，即可得到BD＝CD（三线合一），从而本题得到证明.如下图示：

当然也可用下面的方法来证OD∥AB.（似乎比上述解法快了些）

（2）将相关已知条件和（1）所得到的结论标注好（这可是解几何题的基本功哦！），如下图示：

要求的“cosA”，必须构造直角三角形，结合“C是⊙O直径”和AB＝AC＝2×半径，且BE＝1，不难想到以下辅助线，得到直角△ACG.

不难得CG∥EF及CD＝BD，因此得到BG＝2BE＝2，从而AG＝…＝2.

因此在直角三角形ACG中，cosA＝AG/AC＝2/4＝0.5.（其实此时∠A＝600，△ABC为等边三角形）.

至此，本题已经解决，容易吧，但本题还有很多余味，不信你试试下列变式题：

【变式1】如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.若⊙O的半径为2，BE=1，求DF的长.