高三期末-高三期末数学之增减函数

2019-01-15 21:57:14 　来源：网络整理

　　高三期末-高三期末数学之增减函数！元旦过后就是紧张的期末诊断了。大家已经是高三的苦孩子了，期末复习的时候，不要只考虑期末诊断，更要准备高考，为了高考复习！函数是高考可能会考内容，爱智康助力期末诊断，下面是高三期末-高三期末数学之增减函数希望对同学们有帮助！

想要了解【高三数学复习方法】的相关资料，请点击加入【爱智康高中交流福利群】，并直接向管理员“小康康”索取！爱智康高中交流福利群会不定期免费发放学习资料，高中以及高考政策等相关消息，请持续关注！

　　高三期末-高三期末数学之增减函数(一)

　　函数的单调性(增减性)是函数的基本性质之一，是高中数学必须掌握且能熟练运用的基础知识。函数中函数值的变化方向与自变量的变化方向密切相关，当自变量的变化方向与函数值的变化方向一致时，函数图象(曲线)是下降的，或者说是递减的;反之，是上升的，或者说是递增的，函数的这种性质称为单调性。函数的单调性是函数在某个区间或整个定义域上的性质。利用函数的单调性可以求函数在某个区间上的较大(小)值、可以比较两个或多个函数值的大小、还可以解不等式及判断函数在某个区间内的零点个数。但在解决这些问题之前必须确定函数的单调性，即函数在定义域区间内是增函数还是减函数。下面介绍几种判断函数增减性的方法。

　　一、利用函数单调性的定义判别

　　设函数f(x)的定义域为I：

　　如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1

　　在此定义中必须注意：

　　1.证明函数的单调性，必须严格按照单调性的定义进行，x1，x2具有三个特征：一是任意性，也就是说，x1，x2是任取的，证明单调性时不能用两个特殊值随意替换x1，x2;二是x1，x2有大小，通常规定x1

　　2.这个区间A可以是定义域I本身，也可以是定义域I的某个真子集。

　　3.不是所有的函数都具有单调性。

　　如函数，它的定义域为R，但不具备单调性;又如Y=3x+2，x∈N+，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

　　二、利用函数值与自变量的变化趋势判别或利用函数图象的“走势”判别

　　当函数值与自变量的变化趋势时，函数为函数。

　　函数图象(曲线)“从左到右走坡路”，函数为函数。

　　三、利用函数单调性的运算性质判别

　　若函数f(x)，g(x)在定义域区间A上具有单调性，则在区间A上具有下列性质：

　　①f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性;

　　②当a>0时，f(x)与af(x)具有相同的单调性;当a<0时，f(x)与af(x)具有相反的单调性;

　　③若f(x)恒不等于零，当k>0时，f(x)与具有相反的单调性;单k<0时，f(x)与具有相同的单调性;

　　④当f(x)与g(x)都是函数时，则f(x)+g(x)也是函数;

　　⑤若f(x)与g(x)都是函数时。

　　当f(x)>0且g(x)>0时，则f(x) g(x)是函数;

　　当f(x)<0且g(x)<0时，则f(x) g(x)是函数。

　　例判断函数f(x)=5x3- 在(0，+∞)上的单调性。

　　解：∵5x3在(0，+∞)上是增函数;- 在(0，+∞)上是增函数。

　　∴f(x)=5x3- 在(0，+∞)上也是增函数。

　　高三期末-高三期末数学之增减函数(二)

　　四、利用函数奇(偶)性的对称性质判别

　　因为函数的图象关于成图形，所以函数在原点两侧的对称区间上具有的单调性。即函数f(x)在区间[a，b]与[-b，-a]上的单调性。(0≤a

　　例2 设f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增，且有f(2a2+a+1)

　　解：∵f(x)在R上是偶函数，在区间(-∞，0)上递增。

　　∴f(x)在区间(0，+∞)上递减。

　　点评：解此题的关键是根据2a2+a+1>0，2a2-2a+3>0恒成立的性质，必须确定f(x)在(0，+∞)上的单调性，而偶函数f(x)在原点两侧的对称区间(-∞，0)与(0，+∞)上的单调性相反。

　　五、复合函数单调性的判断

　　1.若一个复合函数由多个初等函数复合而成，则这个复合函数的单调性由复合成此函数的这多个初等函数中减函数的个数决定：当初等函数中减函数的个数为奇数时，复合函数为减函数;当初等函数中减函数的个数为偶数时，复合函数为增函数。即“偶增奇减”

　　2.当复合函数y=f[g(x)]由两个初等函数y=f(u)，u=g(x)复合而成时，其单调性为：当y=f(u)，u=g(x)同为增函数或同为减函数时，y=f[g(x)]为增函数：当y=f(u)，u=g(x)为一增函数一减函数时，y=f[g(x)]为减函数。即“同增异减”

　　例求函数y=log2(x2+3x+2)的单调性

　　解：由x2+3x+2>0得x<―2或x>―1

　　∴函数定义域为(-∞，―2)∪(―1，+∞)

　　又∵y=log2(x2+3x+2)由函数y=log2u(u>0)与u=x2+3x+2(x<―2或x>―1)复合而成

　　当x∈(-∞，―2)时，u=x2+3x+2为减函数，也满足u>0，y=log2u为增函数。

　　则y=log2(x2+3x+2)为减函数;

　　当x∈(―1，+∞)时，u=x2+3x+2为增函数，也满足u>0，y=log2u为增函数。

　　则y=log2(x2+3x+2)为增函数。

　　∴y=log2(x2+3x+2)的单调递减区间为(-∞，―2);单调递增区间为(―1，+∞)

　　六、导函数的应用

　　设函数y=f(x)在区间(a，b)内可导

　　① 如果恒有f`(x)>0，则函数f`(x)在(a，b)上为增函数;

　　② 如果恒有f`(x)<0，则函数f`(x)在(a，b)上为减函数;

　　③ 如果f`(x)在区间(a，b)上递，则在该区间上有。

　　求可导函数的单调区间：

　　①求f`(x) ②解不等式 ③确定结论：的解集为单调递区间。

　　注意：当f`(x)在某个区间内个别点处为零，在其余各点处都为时，f`(x)在这区间上仍是单调递的，但是并不是f`(x)为函数的充分条件，而是必要条件。

　　例设f`(x)=ax+ (a>0)

　　①判断f`(x)在(0，+∞)上的单调性;

　　②设f`(x)在0

　　高三期末-高三期末数学之增减函数(三)

　　已知函数定义域是不等于0的一切实数。对定义域内的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2) 且当x大于1时，f(x)大于0，f(2)=1. 证明f(x)在0到正无户定膏剐薇溉疙税躬粳穷上为增。并解不等式f(2x^2-1)小于2

　　(1)(A)令x1=x2=1,由题设得：f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1).===>f(1)=0.(B)设x>0.则0=f(1)=f[x*(1/x)=f(x)+f(1/x).===>f(1/x)=-f(x).(x>0)(C)设0x2/x1>1.===>f(x2/x1)>0.又f(x2/x1)=f(x2)+f(1/x1)=f(x2)-f(x1).故f(x2)-f(x1)>0.===>当0f(-1)=0.===>f(-x)=f[(-1)*x]=f(-1)+f(x)=f(x).===>f(-x)=f(x).即函数f(x)为偶函数，(B)由题设知f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2.即f(4)=2.故原不等式可化为：f(2x^2-1)0时，有0<2x^2-1<4.===>√2/2<|X|<√10/2.===>户定膏剐薇溉疙税躬粳;-√10/2-√2/2

　　已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(X)=f(x)-f(a-x)

　　证明：函数F(x)的图象关于点(a/2，0)成中心对称。

　　设k是任一实数

　　F(a/2+k)=f(a/2+k)-f(a-a/2-k)=f(a/2+k)-f(a/2-k)

　　F(a/2-k)=f(a/2-k)-f(a-a/2+k)=f(a/2-k)-f(a/2+k)

　　F(a/2+k)=-F(a/2-k)

　　即F(a/2+x)=-F(a/2-x)

　　所以函数F(x)的图象关于点(a/2，0)成中心对称。

　　小编推荐：

　　高三期末-高三期末物理向心力

　　高三期末-高三期末物理弹力

　　高三期末-高三期末物理受力分析方法