高中数学导数知识点

2016-05-25 11:27:25 　来源：网络整理

　　导数(Derivative)是微积分中的重要基础概念。当函数y=f(x)的自变量X在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f‘(x0)或df/dx(x0)。

　　导数的定义：

　　当自变量的增量Δx=x-x0，Δx→0时函数增量Δy=f(x)-f(x0)与自变量增量之比的极限存在且有限，就说函数f在x0点可导，称之为f在x0点的导数(或变化率)。

　　函数y=f(x)在x0点的导数f’(x0)的几何意义：表示函数曲线在P0[x0，f(x0)]点的切线斜率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。

　　一般地，我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性)的法则：设y=f(x)在(a，b)内可导。如果在(a，b)内，f‘(x)>0，则f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大，函数曲线变得“陡峭”，呈上升状)。如果在(a，b)内，f’(x)<0，则f(x)在这个区间是单调减小的。所以，当f‘(x)=0时，y=f(x)有极大值或极小值，极大值中较大者是较大值，极小值中较小者是较小值

　　求导数的步骤：

　　求函数y=f(x)在x0处导数的步骤：

　　①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)②求平均变化率③取极限，得导数。

　　导数公式：

　　①C’=0(C为常数函数)；②(x^n)‘=nx^(n-1)(n∈Q*)；熟记1/X的导数③(sinx)’=cosx；(cosx)‘=-sinx；(tanx)’=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2-(cotx)‘=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2(secx)’=tanx？secx(cscx)‘=-cotx？cscx(arcsinx)’=1/(1-x^2)^1/2(arccosx)‘=-1/(1-x^2)^1/2(arctanx)’=1/(1+x^2)(arccotx)‘=-1/(1+x^2)(arcsecx)’=1/(|x|(x^2-1)^1/2)(arccscx)‘=-1/(|x|(x^2-1)^1/2)④(sinhx)’=hcoshx(coshx)‘=-hsinhx(tanhx)’=1/(coshx)^2=(sechx)^2(coth)‘=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2(sechx)’=-tanhx？sechx(cschx)‘=-cothx？cschx(arsinhx)’=1/(x^2+1)^1/2(arcoshx)‘=1/(x^2-1)^1/2(artanhx)’=1/(x^2-1)(|x|<1)(arcothx)‘=1/(x^2-1)(|x|>1)(arsechx)’=1/(x(1-x^2)^1/2)(arcschx)‘=1/(x(1+x^2)^1/2)⑤(e^x)’=e^x；(a^x)‘=a^xlna(ln为自然对数)(Inx)’=1/x(ln为自然对数)(logax)‘=(xlna)^(-1)，(a>0且a不等于1)(x^1/2)’=[2(x^1/2)]^(-1)(1/x)‘=-x^(-2)

　　导数的应用：

　　1。函数的单调性

　　(1)利用导数的符号判断函数的增减性利用导数的符号判断函数的增减性，这是导数几何意义在研究曲线变化规律时的一个应用，它充分体现了数形结合的思想。一般地，在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果f‘(x)<0，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减。如果在某个区间内恒有f’(x)=0，则f(x)是常数函数。注意：在某个区间内，f‘(x)>0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件，如f(x)=x3在R内是增函数，但x=0时f’(x)=0。也就是说，如果已知f(x)为增函数，解题时就必须写f‘(x)≥0。(2)求函数单调区间的步骤(不要按图索骥缘木求鱼这样创新何言？1。定义较基础求法2。复合函数单调性)①确定f(x)的定义域；②求导数；③由(或)解出相应的x的范围。当f’(x)>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当f‘(x)<0时，f(x)在相应区间上是减函数。

　　2。函数的极值

　　(1)函数的极值的判定①如果在两侧符号相同，则不是f(x)的极值点；②如果在附近的左右侧符号不同，那么，是极大值或极小值。

　　3。求函数极值的步骤

　　①确定函数的定义域；②求导数；③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点，即求方程及的所有实根；④检查在驻点左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值。

　　4。函数的较值

　　(1)如果f(x)在[a，b]上的较大值(或较小值)是在(a，b)内一点处取得的，显然这个较大值(或较小值)同时是个极大值(或极小值)，它是f(x)在(a，b)内所有的极大值(或极小值)中较大的(或较小的)，但是较值也可能在[a，b]的端点a或b处取得，极值与较值是两个不同的概念。(2)求f(x)在[a，b]上的较大值与较小值的步骤①求f(x)在(a，b)内的极值；②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是较大值，较小的一个是较小值。

　　5。生活中的优化问题

　　生活中经常遇到求利润较大、用料较省、效率较高等问题，这些问题称为优化问题，优化问题也称为较值问题。解决这些问题具有非常现实的意义。这些问题通常可以转化为数学中的函数问题，进而转化为求函数的较大(小)值问题。