什么是整体思想？如何才能学好此类数学思想方法？

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在数学学习过程中，我们除了要学习大量的数学知识和方法技巧之外，更要掌握好一些重要数学思想方法，如整体思想。

 

数学思想方法大家接触过很多，如函数思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等，不同的思想方法有不同的应用法则，或不同的数学思想方法可以一起“共用”，共同解决问题等。

 

像数形结合这些思想方法是大家接触较多的，而对于整体思想的了解和应用，相对会少一些，因此为了能更好帮助大家提高对整体思想的了解，今天我们就一起来讲讲此类思想方法的“用法”。

 

什么是整体思想呢？

 

整体思想就是在解决数学问题时，将要解决的问题看作一个整体，通过对问题的整体形式、整体结构、已知条件和所求综合考虑后得出结论。

 

更加直白的讲整体思想就是指从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

 

我们先一起来看一道具体的例子：

 

分解因式（x2+5x-3）（x2+5x+1）-21

 

解：设x2+5x-3=t，则x2+5x+1=t+4

 

原式=t（t+4）-21=t2+4t-21=（t+7）（t-3）

 

再将x2+5x-3=t代入上式

 

原式=（x2+5x-3+7）（x2+5x-3-3）

 

=（x2+5x+4）（x2+5x-6）

 

=（x+1）（x+4）（x+6）（x-1）

 

题干分析：

 

若把两个二次三项式（x2+5x-3）与（x2+5x+1）相乘，则将得到一个四次多项式，这时再分解因式就十分困难。但若把（x2+5x-3）（或x2+5x）视为一个整体，即把（x2+5x-3）看成一个新变元t，原式就变形为关于t的二次多项式，问题就容易解决了。

 

解题反思：

 

由这道典型例题我们可以看出，对某些多项式的因式分解，如果前一项的两个因式中只是常数项不同，则可将它们中的相同部分看成一个整体，用换元法可以降次，简化解题过程。

 

在数学与学习过程中，学会应用整体思想法解数学题，就要学会把一些看似彼此独立而实质是紧密相联的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入或求值等。这样做的目的可以使复杂的问题变得简单，陌生的问题变得熟悉，还往往可以解决按常规方法解决不了的一些问题。

 

整体思想，典型例题分析2：

 

若a－2b=3，则2a－4b－5= 。

 

解：2a－4b－5=2（a－2b）－5=2×3－5=1。

 

故答案是：1。

 

题干分析：

 

把所求代数式转化为含有（a－2b）形式的代数式，然后将a－2b=3整体代入并求值即可。

 

解题反思：

 

本题考查了代数式求值。代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式（a－2b）的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值。

 

用整体思想解方程，就是先考虑方程中的某一个代数式整体去代入，然后再解出方程中的未知数的值就可以了。

 

整体思想，典型例题分析3：

 

 

考点分析：

 

完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；题；整体思想。

 

题干分析：

 

根据非负数的性质先求出a2+1/a2、b的值，再代入即可．

 

解题反思：

 

本题考查了非负数的性质，完全平方公式，整体思想，解题的关键是整体求出a2+1/a2的值．

 

要想学好数学，就要加强对数学思想方法的理解。一定要深刻认识到数学思想方法是数学知识的进一步提炼和升华，数学学习目除了需要扎实的基础知识和方法技巧之外，更需要运用灵活的数学思想方法。

 

整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

 

整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理。

 

整体思想，典型例题分析4：

 

例4：如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60度，∠B=∠D=90度，求四边形ABCD的面积。

 

 

题干分析：

 

这是一个不规则的四边形，欲求它的面积，可把它补成三角形或规则的四边形，所求图形的面积恰是两个图形面积的差。

 

本题还可以把原四边形补成一个矩形、直角梯形、等边三角形或平行四边形，如图2—图5。

 

 

解题反思：

 

整体补形是补充完整，根据题设条件将原题中的图形补足为某种特殊的图形，沟通题设条件与特殊的图形之间的关系，从而突出问题本质，找到较简洁的解法或证法。

 

从这些典型例题，我们可以看出整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、叠加叠乘处理、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用。

 

整体思想作为重要的数学思想之一，我们在解题过程中经常使用。要想学会整体思想的应用，就要做到观察全局、整体代入、整体换元、整体构造。

 

只有提高对整体思想的认识，把整体思想使用得恰当，才能提高解题效率和能力，减少不必要的和走弯路。如整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，化繁为简、变难为易，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。

 

较后记住整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等。

 

 

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