六年级小学数学经典题难题集粹：容斥原理问题

2010-06-09 11:04:18 　来源：网络资源

　　五.容斥原理问题

　　23. 有100种赤贫.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的较大值和较小值分别是（）

　　A 43，25 B 32，25 C32，15 D 43，11

　　解：根据容斥原理较小值68+43-100=11

　　较大值就是含铁的有43种

　　24.在多元智能大赛的决赛中只有三道题.

　　已知：（1）某校25名孩子参加诊断，每个孩子至少解出一道题；

　　（2）在所有没有解出先进题的孩子中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍

　　（3）只解出先进题的孩子比余下的孩子中解出先进题的人数多1人；

　　（4）只解出一道题的孩子中，有一半没有解出先进题，那么只解出第二题的孩子人数是（）

　　A，5 B，6 C，7 D，8

　　解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。

　　分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123

　　由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123=25…①

　　由（2）知：a2+a23=（a3+ a23）×2……②

　　由（3）知：a12+a13+a123=a1-1……③

　　由（4）知：a1=a2+a3……④

　　再由②得a23=a2-a3×2……⑤

　　再由③④得a12+a13+a123=a2+a3-1⑥

　　然后将④⑤⑥代入①中，整理得到

　　a2×4+a3=26

　　由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：

　　当a2=6、5、4、3、2、1时，a3=2、6、10、14、18、22

　　又根据a23=a2-a3×2……⑤可知：a2>a3

　　因此，符合条件的只有a2=6，a3=2。

　　然后可以推出a1=8，a12+a13+a123=7，a23=2，总人数=8+6+2+7+2=25，检验所有条件均符。

　　故只解出第二题的孩子人数a2=6人。

　　25.一次诊断共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加诊断人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次诊断的合格率至少是多少？

　　答案：及格率至少为71%。

　　假设一共有100人诊断

　　100-95=5

　　100-80=20

　　100-79=21

　　100-74=26

　　100-85=15

　　5+20+21+26+15=87（表示5题中有1题做错的较多人数）

　　87÷3=29（表示5题中有3题做错的较多人数，即不及格的人数较多为29人）

　　100-29=71（及格的较少人数，其实都是全对的）

　　及格率至少为71%

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