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高三期末-高三期末数学之直线方程(一)
直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率常用k表示.即(参见图一) .斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当(参见图二)时,k>=0 ;当(参见图三) 时,k< 0 ;当(参见图三)时, k不存在.
②过两点的直线的斜率公式：(参见图五)
注意下面四点：(1)当 x1=x2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
① 点斜式： y - y1 = k(x - x1) 直线斜率k,且过点 (x1,y1)
注意：当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
② 斜截式：y = kx+b ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③ 两点式： (参见图六) 直线过两点(x1,y1)(x2,y2) ,
④ 截矩式：(参见图七)其中直线l 与 x轴交于点(a,0) ,与y 轴交于点(0,b) ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为a,b .
⑤ 一般式：Ax + By + C = 0 (A,B不全为0)
高三期末-高三期末数学之直线方程(二)
注意：
1 各式的适用范围
2 特殊的方程如：
平行于x轴的直线：y = b (b为常数); 平行于y轴的直线：x=a (a为常数);
(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
① 平行直线系 平行于已知直线 (A0,B0是不全为0的常数)的直线系：A0x+B0y+C0 = 0(C为常数)
② 过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：y-y0 = k(x-x0) ,直线过定点(x0,y0) ;
(ⅱ)过两条直线 l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 (E为参数),其中直线l2 不在直线系中.
(5)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
(6)两直线平行与垂直
当 l1: y=k1x+b1,l2: y=k2x+b2 时,(参见图八)
高三期末-高三期末数学之直线方程(三)
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
l1: A1x+B1y+C1 = 0,l2: A2x+B2y+C2 = 0 相交
交点坐标即方程组 的一组解.
方程组无解 (参见图十) ; 方程组有无数解 l1 与 l2 重合
(8)两点间距离公式：设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,
则 (参见图十一)
(9)点到直线距离公式：一点P(x0,y0) 到直线l1:Ax+By+C=0 的距离
(参见图十二)
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